量子ビット系
より一般的な説明を避け，量子ビットを説明するために以下では波動関数が離散的になっている状況を考えます．粒子は以下のように\(x=a\)での波動関数\(\psi_a(x)\)とその複数数の係数\(c_a\)と\(x=b\)の場合のそれぞれの波動関数の線形結合で書けるとしましょう．(ただし，\(a\neq b\)を常に満たすとします．)：
(3)\[\begin{align}
\Psi(x) = c_a\psi_a(x) + c_b\psi_b(x)
\end{align}\]
そして，\(\psi_a(x),\psi_b(x)\)がそれぞれ十分に離散的になるために，波動関数\(\psi_a(x)\)と\(\psi_b(x)\)は以下で説明するように，\(x=a,b\)でそれぞれ鋭いピークを持つディラックのデルタ関数と呼ばれる関数で掛けるとします(もちろん波動関数の取り方は様々であり，デルタ関数に限りませんが簡単のためデルタ関数を採用しました．)：
ディラックのデルタ関数
数学の厳密な話は避け，ここではデルタ関数の基本的な性質な性質に関して述べていきます．
デルタ関数\(\delta(x)\)とは，原点で連続な関数\(f(x)\)に対して次が成立するような関数です：
(4)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)dx =f(0)
\end{align}\]
また，\(\epsilon> 0\)を満たす\([-\epsilon,\epsilon]\)に対する積分も
(5)\[\begin{align}
\int_{-\epsilon}^{\epsilon} f(x) \delta(x)dx =f(0)
\end{align}\]
が成立します．
例えば\(f(x)=1\)の定関数であった時
(6)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx=1
\end{align}\]
になります．これよりデルタ関数の具体的な形を書こうとすると
(7)\[\begin{align}
\delta(x) =
\begin{cases}
0 & x\neq 0\\
\infty & x=0
\end{cases}
\end{align}\]
となり，原点に鋭いピークを持つような関数であることがイメージできます．また，積分区間を置き換え，\(f(x)\to f(x+a)\)とすることによって
(8)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a) dx= f(a)
\end{align}\]
も成立します．
そして，説明のため，数学的な厳密さには欠けますが
\(a\neq b\)の時，\(\delta(x-b)\)は\(x=a\)で連続であるため，\(\delta(x-b)\)を\(f(x)\)と見立てることによって
(9)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-b)\delta(x-a) dx=\delta(a-b) =0 \quad\because a\neq b
\end{align}\]
となり，
\(a=b\)の時は
(10)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x) dx =1
\end{align}\]
であると約束します．なお，\(\delta(x)\)は原点で連続ではないため上記で導入した
(11)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)dx =f(0)
\end{align}\]
の\(f(x)\)を\(\delta(x)\)に置き換えることはできません．そのため，同じ点で鋭いピークを持つ関数の積も同様に同じ点で鋭いピークを持つという考えから，\(\delta(x)\delta(x)=\delta(x)\)であるというルールを設けています．
以上で説明したディラックのデルタ関数を用いてそれぞれの波動関数を記述すると，
(12)\[\begin{align}
\psi_a(x) = \delta(x-a),\quad \psi_b(x) = \delta(x-b)
\end{align}\]
と表現できます．\(\psi_a(x),\psi_b(x)\)のイメージとしては
(13)\[\begin{align}
\psi_a(x) &&=
\begin{cases}
0 & x\neq a\\
\infty & x=a
\end{cases}\\
\psi_b(x) &&=
\begin{cases}
0 & x\neq b\\
\infty & x=b
\end{cases}
\end{align}\]
となり，確かに\(x=a,b\)で鋭いピークを持ち，波動関数が十分に離散的になっていることが分かります．
よってデルタ関数の性質によって
(14)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_a^{*}(x)\psi_a(x) dx = 1,\quad \int_{-\infty}^{\infty} \psi_b^{*}(x)\psi_b(x) dx = 1
\end{align}\]
が成立します．また，
(15)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_a^{*}(x)\psi_b(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_b^{*}(x)\psi_a(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-b)\delta(x-a) =0
\end{align}\]
が成立します．これらをまとめると
(16)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}_a(x) \psi_b(x) dx =
\begin{cases}
0 & (a\neq b)\\
1 & (a= b)
\end{cases}
=\delta_{ab}
\end{align}\]
となります．ただし．\(\delta_{ab}\)はクロネッカーのデルタと呼ばれている関数で
(17)\[\begin{align}
\delta_{ab}=
\begin{cases}
0 & (a\neq b)\\
1 & (a= b)
\end{cases}
\end{align}\]
を満たす関数のことです．ここで，上記の式を満たす\(\psi_a(x),\psi_b(x)\)の条件を正規直交条件と言います．
微小項の\(\epsilon\)を用いて位置\(a-\epsilon\)から\(a+\epsilon\)の間にいる粒子の確率\(\text{Pr}(a-\epsilon<x<a+\epsilon)\)は
(18)\[\begin{align}
\text{Pr}(a-\epsilon<x<a+\epsilon) &= \int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} |\Psi(x)|^2 dx = \int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \Psi^{*}(x)\Psi(x) dx\\
&=\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \left\{ c_a^*\psi^{*}_a(x)+c_b^*\psi^{*}_b(x) \right\}\left\{ c_a\psi_a(x) + c_b\psi_b(x) \right\} dx = |c_a|^2
\end{align}\]
であり，同様にして
(19)\[\begin{align}
\text{Pr}(b-\epsilon<x<b+\epsilon) = |c_b|^2
\end{align}\]
になります．また，規格化条件は
(20)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x)|^2 = |c_a|^2 + |c_b|^2 =1
\end{align}\]
となります．
物理的な意味
繰り返すようですが今回考えている設定では位置\(x=a\)付近に粒子が検出される確率が\(|c_a|^2\)であり，位置\(x=b\)付近で粒子が検出される確率が\(|c_b|^2\)です．しかし量子力学では粒子はどこにいるのかは観測するまで定まっていないため，波動関数：
(21)\[\begin{align}
\Psi(x) = c_a\psi_a(x) + c_b\psi_b(x)
\end{align}\]
は，位置\(x=a\)に粒子がいる状態と位置\(x=b\)に粒子がいる状態が確定しておらず重ね合わせった状態である「重ね合わせ状態」と呼ばれる状態であると考えられます．
観測という行為を行うと波動関数は古典的になります．どういうことかと言うと一回だけ観測を行った時
(22)\[\begin{align}
\Psi(x) \to
\begin{cases}
\psi_a(x) & x=aに粒子を観測した時\\
\psi_b(x) & x=bに粒子を観測した時
\end{cases}
\end{align}\]
と波動関数が変化します．つまり，一回だけ観測をすると粒子は\(x=a\)もしくは\(x=b\)にいるだけで，\(x=a\)と\(x=b\)に同時に粒子が現れるといったことは起こりえません．
量子ビット系
これまで議論してきた\(\psi_a(x)\)を情報の単位である\(0\)，\(\psi_b(x)\)を情報の単位である\(1\)として見なすことで量子ビットと呼ばれる量子コンピュータの情報の最小単位を構築することができます．実は量子ビット系を導入するために\(\psi_a(x),\psi_b(x)\)が十分に離散的であるという特殊例を考えてきました．以下のように二つの波動関数の正規直交条件：
(23)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}_a(x) \psi_b(x) dx =
\begin{cases}
0 & (a\neq b)\\
1 & (a= b)
\end{cases}
=\delta_{ab}
\end{align}\]
と，規格化条件：
(24)\[\begin{align}
|c_a|^2 + |c_b|^2 =1
\end{align}\]
を満たすような波動関数と係数の線形結合で書ける波動関数：
(25)\[\begin{align}
\Psi(x) = c_a\psi_a(x) + c_b\psi_b(x)
\end{align}\]
の系をこれから量子ビット系と呼ぶことにします．
もちろん第二章で説明するように実際の量子ビットはより込み入った話ですが，このような考え方で実装されています．なお量子ビットのより詳しい説明に関しては次のセクション行います．
ブラケットの記法
実は，これまで議論してきた波動関数\(\Psi(x)\)の引数である位置\(x\)は波動関数を表現するのに不向きである場合があります．中には位置ではなく運動量を使って考えたり，今回は一次元直交座標系と呼ばれる系で考えまししたが極座標系で考えたりなど他の引数で考えると扱いやすくなったりします．そこで，それぞれの引数に応じて波動関数を考えるのは少々手間であることからディラックと呼ばれる物理学者は引数によらないブラケットと呼ばれる記法を導入することで波動関数の抽象化をしました．
これからは波動関数\(\Psi\)を以下のように表現します：
(26)\[\begin{align}
\Psi \to |\Psi\rangle
\end{align}\]
この表記をケットと言います．
そして，\(\Psi^{*}\)を
(27)\[\begin{align}
\Psi^{*} \to \langle \Psi|
\end{align}\]
と表記することにします．この表記をブラと言います．そして，この表記法はまとめてブラケットと言います．
これによってこれまで引数\(x\)を持っていた波動関数\(\Psi(x)\)は位置の引数によらない表記ができました．しかし，このように抽象化をしても引数によらない\(|\Psi\rangle\)が満たさなくてはいけない条件があります．
それは正規直交条件と規格化条件です．簡単のため一般的な話はここまでにして，具体例である量子ビット系を見ることで正規直交条件と規格化条件がブラケットによってどのように表現されるかを見ていきましょう．
量子ビット系
ブラケットの記法で表現すると
(28)\[\begin{align}
|\Psi\rangle = c_a |\psi_a\rangle + c_b|\psi_b\rangle
\end{align}\]
となります．そして，
(29)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_a^{*}(x) \psi_b(x) dx = \langle \psi_a | \psi_b\rangle
\end{align}\]
という表記の約束をすると正規直交性より
(30)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_a^{*}(x) \psi_b(x) dx = \langle \psi_a | \psi_b\rangle = \delta_{ab}
\end{align}\]
となり，規格化条件は位置の表示では
(31)\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x)|^2 = |c_a|^2 + |c_b|^2 =1
\end{align}\]
であったため
(32)\[\begin{align}
\langle \Psi |\Psi\rangle = |c_a|^2 + |c_b|^2 =1
\end{align}\]
になります．なお\(\sqrt{\langle \Psi |\Psi\rangle}\)をノルムと言います．
よって量子ビット系での正規直交条件は
(33)\[\begin{align}
\langle \psi_a | \psi_b\rangle = \delta_{ab}
\end{align}\]
であり，規格化条件は
(34)\[\begin{align}
\langle \Psi|\Psi\rangle =1
\end{align}\]
と表現できることが分かりました．
なお，直交性より
(35)\[\begin{align}
\langle \psi_a |\Psi\rangle = c_a, \quad \langle \psi_b |\Psi\rangle = c_b
\end{align}\]
と計算することができるため，確率\(|c_a|^2\)と確率\(|c_b|^2\)は
(36)\[\begin{align}
|c_a|^2 = |\langle \psi_a |\Psi\rangle|^2, \quad |c_b|^2 = |\langle \psi_b |\Psi\rangle|^2
\end{align}\]
と計算することができます．
行列での表記
なお，正規直交条件を満たすような\(|\psi_{a}\rangle,|\psi_{b}\rangle\)は実は次のような行列で表すことができます：
(37)\[\begin{align}
|\psi_{a}\rangle =
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix},\quad |\psi_{b}\rangle =
\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}
\end{align}\]
また，ブラは
(38)\[\begin{align}
\langle \psi_{0}| = [1,0],\quad
\langle \psi_{1}| = [0,1]
\end{align}\]
とします．
実際にこれらを用いて計算すると
(39)\[\begin{align}
\langle \psi_{a} |\psi_{b}\rangle = \delta_{ab}
\end{align}\]
が成立する確かめられて確かに正規直交条件を満たしていることが分かると思います．
全体の波動関数\(\Psi(x)\)を行列で表現すると
(40)\[\begin{align}
|\Psi\rangle &= c_a |\psi_a\rangle + c_b |\psi_b\rangle \\
&=
\begin{bmatrix}
c_a\\
c_b
\end{bmatrix}
\end{align}\]
となります．
なお，\(\langle \Psi |\)は
(41)\[\begin{align}
\langle \Psi | &= c_a^{*}\langle \psi_a| + c_b^{*} \langle \psi_b|\\
&= [ c_a^{*},c_b^{*} ]
\end{align}\]
で与えられます．
量子ビットでは
ブラケットの中身に入る記号は今回は\(\psi_a,\psi_b\)としましたが，実際に波動関数は扱う物理系において様々な記号で表されます．例えば，(第二章で登場しますが)原子などでエネルギー準位と呼ばれるエネルギーの段階に応じて
(42)\[\begin{align}
|g\rangle, |e\rangle, |f\rangle,\cdots
\end{align}\]
などと表記したり，次のセクションで紹介する量子ビットでは
(43)\[\begin{align}
|0\rangle, |1\rangle
\end{align}\]
などで表記することができます．
